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与学生谈数学

作者:三中数学组 来源:原创 日期:2013-08-16 21:49:06 人气:230 加入收藏 评论:0 标签:创新教育数学大课堂案例

【创新教育数学大课堂案例】

与学生谈数学

湖北省罗田县三里畈中学“初中创新教育的研究与实践”课题组

何国炎晏绍安范美良何先忠

李怡书何群科鄂盛林丰军明

(此系列《鄂东晚报》2005年春陆续选载)

目录

1.数学课文也要阅读2. 数学世界的奇、妙、趣、美

3.大局思想整体方法4.浅谈数学复习中的整合

5.数形结合 开启思维的航船6.分类讨论,放飞思维

7.逆向思维与应用8.数学解题原则

9.谈“空间与图形”的入门学习10.谈数学学习方法

11.由一个学生课堂错误想到的12.类比与联想,展开思维的翅膀

与学生谈数学”之一】

数学课文也要阅读

罗田县三里畈初中范美良

“读课文似乎是语文学科的专利,中间加上“数学”二字,乍一听觉得有点别扭,其实静静地想一想,数学课文不仅要认真地读,而且要仔细地读。

数学课本是数学知识的载体,是同学们学习数学的依据,它是由文字、数学符号、图形、表达式等有机构成,千姿百态,变化无穷。其中蕴含了十分丰富的数学思想、数学原理、方法,小史等知识,字字有含义,处处存逻辑,抽象而严密。在学习中若有毫厘之疏忽,其结果就会产生千里之谬误。所以同学们在学习数学时只听老师的讲是不够的,还需要自己逐字、逐行、全面准确地读数学课本原文,以便正确学,学正确。这也是同学们学习数学的一种方法――阅读法。

认真地读数学课文对提高同学们的数学成绩是无可非议的,无怪乎,数学教材中专门为同学们增设了“读一读”的“短文”,但我认为同学们绝对不能仅限于只读这些“短文”,还要读各章节的“引言”、“小结复习”、“新颖的刊头图语”,对于每章节的内容更应做到以下几点:

一、课前初读,自悟其意

“学贵自悟”,有目的预习读书是学好数学的良好开端。同学们通过初读,要能大致理解每章节所学内容,明确学习目标,要掌握什么?有哪些重要概念、法则、公式?是否能够初步运用?并结合这些问题书写简明读书笔记,且做到坚持不懈,这样才能读有所悟。

二、课堂精读,悟出要点

课堂学习是同学们学习过程的主阵地,通过自己的初读,结合课堂上教师的讲解,使自己在初读时的疑难问题得到逐步解决,通过精读、深钻,准确把握各章节中的重点、难点与关键,使知识条理化、系统化,从中悟出知识要点。

三、课后复读,巩固提高

读数学课文不能浅尝辄止,如果这样,易于返生,课后复读正是突破这一障碍的主要途径,因此课后复读一遍本章节的主要内容,研究一下例题的解题过程和分析方法,提高解决问题的能力,同时坚持写一写课后读书笔记,总结每章节学习的得失,谈谈学习体会,都能够收到良好的效果。

总之,读数学课文要贯穿整个学习过程的始终。课前读,以作预习,课中读,以作学习,课后读,以作复习。读书的方式,可以默读,也可以朗读,但要边读边想,弄通其中的道理;边读边记,记忆有关概念、公式、法则、定理等基础知识;边读边解,掌握解题、证题的方法等基本技能,边读边画,达到既会作图,又会识图的要求……

与学生谈数学”之二】

数学世界的奇、妙、趣、美

罗田县三里畈中学何国炎

数学是人类文明的结晶。从表面看,数学符号单调,数学公式枯燥,数学证明繁复,数学运算麻烦,然而正是这些,构成了数学大厦的美丽与壮观,使一代代学子为之深钻苦读,一个个数学家如醉如痴,为之贡献毕生的心血。

是什么力量支配看他们?因为数学的魅力。只要潜心于数学世界,就会发现它的新奇,它的巧妙,它的情趣,它的美丽。如果你深入数学世界,就能勇敢地猎“奇”,大胆地探“妙”,多角度地赏“趣”,创造性地审“美”。

人们常说大千世界,无奇不有,而数学世界更是千奇百妙,变化万千。就从学习代数式来看,神奇的变化就让人啧啧称叹。请看下列代数式:81=(8+1);2592可变为2·9。数字不变,可表达方式却不一样。数的立方还会出现“黑洞”,诡异难测。例如:153=1+5+3;370=3+7+0;371=3+7+1;407=4+0+7;……这些奇妙的数字称为“水仙花”数。它们的新奇,肯定会你跃跃欲试。只要你“从代数式中找规律,列代数式表示”,就会自觉去猎“奇”,就具备了探索精神和归纳能力。

数学来源于生活,产生于生产实践,是生活中奇的浓缩,是实践中妙的结晶。数学的运算,妙趣横生。请你观察12345679这几个数字,看出缺哪一个数字吗?回答是缺“8”。而12345679乘以72的运算结果你知道是多少?回答是:888888888。有的是“8”吧!表面无“8”,而结果都是“8”。再看一个算式:111111111=12345678987654321。这么整齐的对称数字,你说妙不妙?

数学与生活,谁也离不开谁。1、2、3、4、5、6、7,一个星期接着一个星期,周而复始。而一个月的周历表中,任意三横三列排成正方形的9个数的和,总是等于中的哪个数的9倍。这难道不妙?

数字还能变为美妙的音乐。用1、2、3、4、5、6、7七个数字,体现多、来、米……的声音高低与变化,组合成变化无穷的乐曲,表达人们喜、怒、哀、乐的丰富情感。

按素质教育和新课改的要求,学生的课业负担减轻了,有了充足的富余的时间。如果养成了自学的习惯,走进数学的奇妙世界,在生活、生产中寻找数学的妙用,有利于培养智力和能力。如果能够大胆探“妙”,哪怕是“异想天开”,对于开发数学思维、培养想象能力来说,必然是收效显著。

在开放的课外活动中,你要去品赏数学之“趣”,让兴趣伴随自己学习、钻研、探索的全过程。

阅读数学家故事,能激发我们学习先哲们的钻研奉献精神,继承先人的科学成就。参加数学辨论会,能培养我们的探索精神,训练思维的严密、细致和敏捷。参加智力赛和擂台赛,能锻炼我们的数学运用能力,发扬敢于争先的精神。

通过各种充满情趣的活动,养成爱数学、学数学的良好习惯,全面提高数学能力,应该成为同学们必要的方式和方法。

数学是人类从生产生活和大自然中结晶出来的,其结构、图形、布局和形式,无一不体现数学美,连数学的方法也是与美相对应的。阅读――逻辑美;演算——精确美;观察――布局美;思考――潜在美;类比――相似美;联想――和谐美;猜想――启示美;探索――成功美;转化――变换美;发现――奇异美;构造――创造美。

数学不但体现了科学美,也体现了艺术美。例如,用电化手段作几何图形的旋转或对称练习,用塑泥制作各种形体,用卡纸或电线制作各种图形,通过作图画出美丽的图案等。“六月飞雪”就是把一个等边三角形的边分为三等份,以中间一等份为边向形外作等边三角形,如此继续下去,所得图形就象一个六角形的“雪花”。“羊年吉祥”是以正方形的一边为斜边,向外作正方形,依此画下去,所得图形就象一个“羊头”。这些图形,都体现了对称的艺术美。

由动脑到动手,在亲手制作体会数学美,继而利用数学来设计创造美,这是数学美的升华。在猎奇中培养探索发现能力,在探妙中培养创造的灵感,在赏趣中培养热爱数学的情感,在审美中培养创新的本领。数学的神秘世界等待着无数的志士仁人去开发。

与学生谈数学”之三】

大局思想整体方法

罗田三里畈初中 何国炎

华人诺贝尔物理学奖获得者杨振宁博士说:做物理就像作一幅大的画,你要有本领把局部结构画得很精细,但是更要能总体把握,这两点都要做到才行。解数学题也是这样,在加强对局部基本知识的学习、研究、分析的基础上,从大局着眼,整体上把握问题,即所谓整体达到,它就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,观察和发现问题的整体的结构和特征,把一些式子和图形看成一个整体,把握他们之间的联系,进行有目的、有意识的整体处理,起到事半功倍而意想不到的效果。

一、代数式化简求值中的整体代入法

求代数式的值,就是把代数式中的每一个字母用数字代替后,再计算出结果。但是有些代数式求值不知道某个字母的取值,而另一些字母取值不知,这就要用整体代入的方法。如:已知,当x=-2时,代数式ax3+bx+1的值为6,那么当x=2时,代数式ax3+bx+1的值___________。将x=-2代入式中得-8a-2b+1=6,∴8a+2b=-5,当x=2时,ax3+bx+1=8a+2b+1=-5+1=-4,而有些求值,则只有一些字母的关系式,这就更要有纵观大局思想,运用整体代入的方法求值。如:x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则100-(10x+10y+10z)=____________,观求式系数相同,察已知两式系数也有关系,故两式相加得5x+5y+5z=25。等式两边同乘以2后整体代入即能简单的求出值来。

二、解方程中的整体换元法

在解方程中,用上了整体的方法,使分式方程、无理方程换元后化难为易,求解简单、快捷、准确。而解方程组和不定方程中,整体叠加叠乘处理,换元整体构造方程,更是整体方法的妙用。如:求系数a、b、c间的关系式,使方程组有实数解。解:将三个方程叠加,得(a+b+c)x2+(a+b+c)x+a+b+c=0,即(a+b+c)(x2+x+1)=0,而x2+x+1=(x+)2+≠0∴a+b+c=0;当a+b+c=0时,方程组有实数解x=1.此解法既有整体叠加,又有a+b+c=0整体讨论求解。而解方程组更是将x+=α, y+整体换元后,以αβ为两根,构造一元二次方程为z2-10z+24=0,求解更易。

三、几何中大局构造思想和整体方法

几何是培养逻辑思维能力和空间想象能力的学科,因此大局思想,整体方法更是解决复杂几何问题茶馆用的方法。由残部整体补复杂的图形为悉知的图形,是几何中整体方法的具体表现。如图,在四边形ABCD中∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC=2,AD=2,则四边形ABCD的面积为___________。解本题,如果只在四边形内想办法作辅助线后计算,不但不能简单解决,现饭作辅助线后反而把已知角的条件破坏不能用。如果从整体上观察,∠B=∠D=90°,


∠C=180°-∠A=45°,联想到直角三角形,并补形延长BA、CD交于点E,则为两个等腰直角三角形。△BCE和△ADE,问题非常简单的得到解决,充分的体现整体方法的奇效。

大局思想,整体方法,不但能使解题简单明了,而且真正理解掌握知识,更重要的是开阔了眼界,发散了思维,培养了能力。

与学生谈数学”之四】

浅谈数学复习中的整合

罗田县三里畈中学晏绍安

数学复习是一个将平时所学的知识、解题方法、思维进行的巩固,再熟练强化,形成一种稳定习惯为再创造提供知识和技能意识基础的过程。而知识、解题方法,思维的巩固,必须通过题目这一载体,运用解题这种形式来实现,要达到再熟悉强化的目的,必须将题目根据知识、方法和思维训练的要求进行相对的集中,重新组合,打破平时教学的时限性、阶段性的限制,这就是整合。

一是知识点的整合。理解掌握基本的知识是最起码的要求,也是运用知识解决问题,迁移知识的前提条件。牵涉到某一问题的知识不可能在某一章节全部出现,而是分散在不同年级不同章节中,学生不可避免地有蔬漏,复习的目的是要把这些分散的知识集中串起来,根据不同的题目条件运用不同的知识解决不同的问题,在比较中理解、掌握、运用知识。如:对于线段中点这一知识点涉及到的知识有:(1)中点两等分线段;(2)三角形的中线;(3)中位线定理;(4)垂经定理;(5)中垂线定理。

如图:(1)在DABC中,AB≠AC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥AB交AE于点F,DF=AC,求证:AE平分ÐBAC

(2)如图:DABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG^CE,G是垂足。求证:(1)G是CE的中点;(2)ÐB=2ÐBCE

(3)如图,AB是圆O的直径,直线L切圆O于E,过A、B分别作直线L的垂线,垂足分别是C、D,求证CO=DO,AB=AC+BD。求证:CO=DO。

  第1题,过C点作AE的平行线与AE的延长线相交于G点,利用中点两等分线段可构造全等三角形,进而证明对应角,对应线段相等或是转化为其他的相等关系;第2题连结DE,利用中点结合直角,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”;结合已知条件和定理“到中线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,”可以证明BE=DE,DE=DC。第3题运用“过梯形一腰的中点平行于两底的直线必平分另一腰”,梯形中位线定理,线段中垂线性质定理,同时可穿插复习三角形中位线定理。这样可以通过复习具体的知识,让知识系统化、细密化,在运用中将知识深化、活化,有效化。

  二是解题方法规律的整合训练。初中数学复习的内容多,如果运用简单重复的题海战术,不光效率低下,枯燥单调,而且极易使学生疲劳,解题的效果反复无常,甚至是以前解对的题目也很费力才能解答,焦虑不安,丧失信心。要从题海跳出来,提高效率,达到举一反三的目的,必须掌握同类型题目解法的内部规律并形成自觉的运用的习惯。

如:题一,AB为O的直径,BC切圆于B点,AC交于圆O于P,E在BC上,且CE=BE,求证:PE是圆O的切线。题二,在直角梯形ABCD中,AB║CD,AD^AB,垂足为A,以腰BC为直径半圆O切AD于E点,连结BE,若BC=6,ÐEBC=30,求梯形ABCD的面积。

这两个题都涉及到直经和切线问题,而解决有关直径的问题常常作辅助线构成直径所对的圆周角;解决有关切线的问题常常作过切点的半径。运用到这两个规律,这两个题目就会迎刃而解。训练自觉运用规律,可以养成学生最后不自觉的运用规律甚至主动总结规律的良好习惯,最终学生会站在更高的角度,以高屋建瓴的思维,更开阔的思维审视题目,能够不需要详细的解题,而知道题目如何解答,极大地提高复习效率,产生更大的成功感和浓厚的兴趣,树立起坚定的自信心,应考时能够正常发挥甚至是超常发挥。

三是思维整合训练。中学生的思维训练主要是转化的数学思维,发散思维创新思维的培养与训练。转化的数学思想是解答灵活多变的题目的前提条件。如:在Rt△ABC中,∠ACB=90,AD平分∠CAB交BC于D。过C作CE⊥AD,垂足为E,CE的延长线交AB于F。求证EF=CE。

根据题目条件可知将证明EF=CE转化成三角形AEF≌三角形AEC,根据条件按这种转化思路问题是能够得到证明的。

如:△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P是BC上点。PE⊥AB于E,

PF⊥AC于F。求证:PE+PF=CD。

这个问题可以运用“截长补短”的辅助线来解决。但考虑PE、PF、CD都是垂线段,CD是高,PE、PF可以转化成三角形的高,而三角形的高与面积有关。连结AP,因此转化成△ABP、△ACP、△ABC的面积问题解决。发散思维的训练关键是对题目已知条件进行发散,如:四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠A与∠C互补,那么AD和DC是否相等?先假设AD=CD。在寻求证明该结论时根据题目的两个条件,发散不同的条件就可以得到不同的证明方法:根据BD平分∠ABC可以考虑运用角平分线性质定理来证明,过D点分别作BA、BC的垂线,垂足分别为E、F,证明△DAE≌△DCF。根据∠A.

∠C互补这一条件,考虑到圆内接四边形对角互补,因此A、B、C、D四点共圆。因此∠BAD、∠CAD两相等的圆周角所对的两弦AD、CD相等。发散题目条件可以让学生更好地熟悉题目,更有效地将题目条件和发散结论重新配置、组合,更快地解决问题。创新思维没有固定的训练方法,在某种程度上说主要来自于灵感。灵感源于平时基本知识的熟练灵活运用和创新意识。因此在平常训练中要有意引导学生创新,鼓励学生创新。如已知X满足方程2X-7X+2=0,则X+1/X=___。联想到原方程可化为X+7/2X+1=0,X、1/X互为倒数,若一元二次方程aX+bX+c=0(a≠0)的两根之积X1X2=1,则两根互为倒数,因此X、1/X可以看成是方程2X2-7X+2=0的两根,所以X+1/X=7/2;这是一种联想创新。

如:2X2-2X=―1-4/X有几个解,可以用解方程的方法解答,但比较繁琐,考虑到求两函数图象的交点可以转化成解方程的问题,因此这个问题就可变成抛物线y=2X2-2X+1与双曲线y=-4/X的交点问题,通过分析图象可以解答,这是一种将数与形结合的创新。

与学生谈数学”之五】

数形结合 开启思维的航船

罗田县三里畈初中 何国炎

“数无形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。切莫忘:几何代数流一体,永远联系莫分离。”华罗庚关于数形结合的这一段精辟论述,正是我们要学习的数学思想和开启思维的好方法。

一、以形助,简明直观

数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用形帮助解决数的问题,我们早已熟知,应用题中用画线段图帮助分析理解数量关系,就是数行结合的初现。

例1:修一条公路,现已完成全长的离中点还有16.5千米,问已修完多少米?

解法一:(算术法)16.5÷( )× =33 (千米)

解法二:(代数法)设已修公路为x千米,则列方程为 x-x=16.5,解得x=33

解法三:(数形结合法)16.5×2=33 (千米)

将全长画为线段AB看作“1”,将其三等份,每段为,E为AB中点 ,也为CD中点,即CF=ED=16.5,所以全长的即已修成为16.5×2=33(千米)。三种方法,数形结合既直观明了,又简单易算,足见形助数的奇效。

个人所得税是一个分段计税的问题,不易理解,很容易算错,如果画出下列这样的线段图就直观简单。

二、用数解形,细致入微

几何直观形象,但代数表达及其运算,全面、精辟、入微,而“形题数解”往往可以使求解思路新颖,且几何中多解问题可以通过转化为解方程或方程组求出来,而不必进行分类讨论,这就是数形结合优越性的再现。

例2:等腰三角形的面积为2,腰长为√5,底角为α ,求tan α

此题为一几何求值题,用几何方法解,必须以顶角为锐角、直角、钝角进行分类讨论,才不漏解,但用下面的代数方法求解就全面细致且不漏解。

解:过A作AD⊥BC 于D,设BD=x,AD=y,则有x2+y2=() 2…… ①又有S△ABCBC·AD=·2x·y=2,即xy=2……②,

由①②组成方程组,求解并检验后得

∴tanα 或2,详细求出多解。

( 例2图)(例3图)

三、数形结合显神奇

形助数,数解形,数形结合见神奇。看:一个实数可以用数轴上的点表示,而平面上的点可以用一对有序实数——点的坐标(x,y)表示。通过平面直角坐标系这个数形结合的桥梁,一条直线就可以用数式y=kx+b(k≠0)表示,而函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象则是一条抛物线,数形在此成为一体。数形结合,既可以将数的问题转化为形,也可以将几何图形的问题转化为代数问题。

例3:已知:△ABC中,∠ C=90°,CD是高,

求证:AC2=AD·AB

证明如图∠A=α ,cosα,∴AC2=AD·AB

这本是一道“用相似三角形”知识来证明的几何问题,但通过设“元” ,利用三角函数,将几何问题代数化,更显出数形结合的神奇。

如果说数学是知识海洋中的一艘船,若数是舵,那么三角形,四边形……不正像船上的帆,掌好数的舵,扬起形的风帆,数形结合开启思维的航船,驶向知识的大洋。

与学生谈数学”之六】

分类讨论,放飞思维

罗田县三里畈初中边 何国炎

你会化简︱x-1︱吗?你会求出 的值吗?很多同学一定都会回答,解这些题一定要分类讨论才能完成。

确实如此,在解决某些数学问题时,要将问题中的对象按一定的标准,分成若干类,然后逐类讨论,最后总结得出正确的结论,这就是分类讨论法。

怎样运用分类讨论法解题呢?关键是如何正确分类,重点做到分类既不重复,又不遗漏,这就需要我们根据所学知识,按下列常见形式分类讨论。

一、根据范围或条件的限制进行分类讨论

一般的定义、定理、公式和法则都有一定的范围或条件的要求,因此,按要求分类讨论,才能正确完整解答问题。如:绝对值的法则中分为正数、零、负数三方面讨论,而等比性质中,如:严重abc≠0,并且 p,p的值,由等比性质得,p,当a+b+c≠0时,p=2;当a+b+c=0时,即a+b=-c,∴p=-1.是按a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况分类讨论 。

二、根据题设条件中含有字母的不同取值进行分类讨论。

分类讨论中含有变量或字母系数,必须按不同的取值进行分类讨论。字母系数的一元一次方程ax+b=0和一元一次不等式ax>b中,系数的不同取值,直接影响解答的方法和结果,一般按数的正、零、负进行讨论。而一元二次方程解的讨论,也是按判别式的正、零、负进行讨论。而是否什么方程,则看系数为零不为零决定方程的次数来讨论。如:求满足如下条件的所有k值,使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。此题含字母系数的方程是关于x的二次方程,还是一次方程直接受系数的影响,应分类讨论。当k=0且不等于-0.5时,为一次方程;当k≠0时为二次方程,还要考虑判别式,再分类讨论,这是一个双重讨论的问题,分类方法更为重要。

三、根据图形位置或形状不确定进行分类讨论

几何中图形形状、大小、位置是研究的对象,当这些对象不确定时,只有通过讨论才能定形定性,谁结论完整正确。

三角形根据锐角、直角、钝角分类而高有形内、直角边上、形外三种类型;等腰三角形由于底、腰的不确定而周长需要分类讨论得出;全等、相似三角形的对应边不确定要分类讨论;点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系由于相互间距离与半径的不定关系也都分为三种类型讨论;而圆中的两条平行弦间的距离,则根据两弦在圆的同侧还是两侧而分类得出两种不同的距离。

四、根据问题条件没有明确给出或结论不唯一进行分类讨论

这类问题,只有通过分类讨论,才能保证解答的严密性和结论的完整性。如:已知α为锐角,比较sinα,cosα的大小。条件中的锐角α又不明确,根据正弦与余弦随角度大小变化规律,当α=45°,两函数值相等为界,分为0°<α<45°、α=45°、45°<α<90°分类讨论得出sinα<cosα、sinα=cosα 、sinα>cosα.

而在坐标系中点的坐标的不确定,致使结论的不唯一,更要通过分类讨论来保证结论的完整。如:已知x轴上有点A(-2,0),B(4,0),点P为直线y= x+2上一点,其横坐标为m,问:若△APB为直角三角形,则m为何值?此题中△APB的边AB位置已定,而使△APB为直角三角形,则需要考虑到哪个角为直角,故分∠APB=90°、∠ABP=90°、∠BAP=90°三类进行讨论即可。

此外,对于自然数问题可按奇,偶分类或剩余类分类讨论;而中考压轴题经常用到的分类有:由点的不确定引起分类讨论;由图形全等或相似的对应关系不确定性引起分类讨论;由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论。

分类讨论既是一种重要的教学思想,更是一种常用的解题方法。它不但考察我们掌握基本概念和基本技能的程度,而且能培养我们思维的周密性和灵活性,使我们思考问题更加全面、严谨、周密,且灵活准确。

与学生谈数学”之七】

逆向思维与应用

罗田县三里畈初中李怡书

在初中数学教材中有许多互逆关系的内容,学生在学习知识的过程中应该经常用逆向思维的方法去帮助理解,学会分析解答,巩固所学知识与方法,养成勤检查的良好学习习惯,培养学生学习的主动性,对自己充满信心。

在学习计算法则时,如减法法则、除法法则、开方法则分别是加法法则、乘法法则和乘方法则的应用逆运算。学习理解它们时,新知识建立在旧知识的基础上,结合互逆的关系,学习起来浅显易懂。如22=4(-2)2=4那么什么数的平方等于4?4的平方根有哪些?象这样反复对比、举例,就不会掉解。再如计算

,若直接通分非常复杂,甚至不可解。但如果逆用减法法则,计算起来就较为简便。即原式=

象这样根据这种互逆关系计算起来简便,学习起来便可顺理成章了。

在学习运算性质时,要灵活运用这些性质进行恒等变形,注意性质的运用与反用,还要活用。如乘法的分配律与反分配律、幂的运算、二次根式的运算性质等。掌握性质的灵活多变,反复运用,体会到数学的灵活性与多变性。如xn=2,求x3n.若想求出x和n来,此题不可解。若运用幂的性质,可化险为夷。即x3n=(x3n3=23=8 .再如二次根式的乘法、除法法则与积商的运算性质刚好互逆。有时灵活运用也可使计算简便。如计算如果直接采取分子、分母同乘以分母的有理化因式比较麻烦。若仔细观察可发现题中隐含有条件:x>0,y>0.所以x=,y= .从而使计算简便。即原式=

。象这样仔细观察,恰当合理地运用一些性质,能够走出困境,尝到柳暗花明、成功的喜悦。

在几何中有许多定理也存在看互逆的关系,如平行线的判定和性质,切线的性质等。注意分清定理和逆定理。体会它们之间的区别,不能鱼目混珠,分辨不清。甚至经常思考一些命题的逆命题该怎样叙述并判断真假,引起认知的冲突,有利于帮助他们对知识的理解和掌握,培养思维的深刻性和发散性,有利于发展学生的逆向思维能力,培养学生思维的灵活性。

在解答几何题中,我们经常采取执果索因法(分析法)去分析和寻找解题途径。甚至贯穿在代数中,这也是逆向思维的具体体现。如“已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根,是否存在实数k,使方程的两个实数根互为相反数?如果存在,求出k的值。如果不存在请说明理由.”解题时,我们也是先假设存在符合要求的根,然后顺着这条思路往下找。最后看是否有符合题意(包括隐含条件),还有诸如反证法,做选择时用到的排除法。题目做完后倒过来检查时,也是逆向思维的应用。

总之,在平时的学习中,我们要进行一些反思,多学一点数学的思想方法,多一点分析的方法、多一点刨根问底的精神、多一点检查的习惯,定会收到事半功倍的良好效果。

与学生谈数学”之八】

数学解题原则

三里畈初中何群科

解数学题,就其本身而言,也要有明确的目的性----实现题目的要求,始终想着目标,围绕目标,进行变换,要抓住条件,紧扣目标,广泛联想,全面考虑问题,注意思维的广阔性,多角度多侧面的思考问题,若从一个方面看问题思路受阻,就应调整观察分析问题的角度,从另一个侧面思考问题,从不同的方向探索思路。“熟能生巧”,要想解决问题,必须深刻熟练地掌握知识,对知识形成条件反射,看到问题条件和目标,就能联想到与此有关的知识,这是分析问题的基础。

解数学题,实质上就是应用数学中各种思维方法与知识,对问题作出一系列恰当的、巧妙的转换。这种转换,要由具体问题决定,可变换题目的条件,导出目标;也可变换题目的目标,逆向追溯题设条件;也可同时变换题目的条件和目标,在变换中求得一致,得到解决。在转化方向上,我们总是遵循一些原则。如简单化原则、熟悉化原则、同一化原则、模式化原则等。自觉地遵循这些原则,能使我们更好地把解题方向,少走弯路,更快地打开解题思路。

(一)简单化原则

所谓简单,就是把比较复杂的问题,通过变换,变成比较简单的问题的问题,把解决复杂问题归结为解决简单的问题,或通过问题的简单化,获得解决复杂问题的思路。

(二)熟悉化原则

在解题中,我们常常碰到非常陌生的问题,与所学的知识很难联系,无从插手,在这种情况下,我们就要考虑能否将此问题转化为我们所熟悉的、会解的问题,通过熟悉问题的解决,得到原问题的解决。

(三)同一化原则

在解题中,常常需要减少不同元素,缩短条件和目标的距离,以此探索解题思路,这就是转换的同一化原则。这种转化,在数学中经常见到。如代数中解多元方程组,要消元,变成一元方程求解;解一元二次方程,要降幂,变成一元一次方程求解;解一元高次方程,可通过因式分解,变成一元一次方程或一元二次方程求解。在三角函数中,常常将不同名三角函数,变成同名三角函数,或尽量减少不同名三角函数的种数。将不同角变成相同角,或尽量减少不同角的种数。将高次变低次,尽量为使用三角公式创造条件。总之,在解题中,将元素统一,将条件和目标统一,将新问题和会解的问题统一,是更重要的解题思考方法。

(四)模式化原则

在数学知识的学习和运用过程中,对知识结构和数学思想逐渐形成数学模式。利用已经建立的数学模式,不断去认识新事物,解决新问题,反过来又会不断丰富、完善以至改变原有的数学模式,一个人的解题思路是否开阔,在很大程度上取决于这个人建立数学模式的多少和运用数学模式的熟练程度。很多习题,只要仔细观察,认真分析题型结构,或只须稍加变换,便可把它纳入到某个统一的模式,思路明朗化,问题得到解决。

数学具有和谐美的特征,美与真在数学命题和数学解题中常常是统一的,因此,我们在数学解题,可以根据数、式、形的和谐美,去思考问题、猜测问题,帮助我们打开解题思路,指明解题方向。

与学生谈数学”之九】

谈“空间与图形”的入门学习

三里畈初中何先忠 丰军明

我们生活在三维空间,丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材,在学习时空要充分利用现实世界的物体,通过观察大量丰富的立体、平面图形,加强对图形的直观认识和感受,从中发现几何图形,归纳出常见几何体的基本特征,从而更好地把握图形。

在初学“空间与图形”这部分内容时应注意以下几个方面:

一、注意概念间的联系,在对比中加深理解

在初学这部分内容时,涉及的概念比较多,大多数概念,前两个学段我们都接触过,许多概念之间都有着密切的联系和区别,把握了这些联系和区别,就能更好地理解这些概念。

例如,直线、射线、线段三个概念联系密切,它们是直的;同时它们之间又有区别,端点个数不同,因而长度有有限与无限之分。

在学习线段的和、差、中点与研究角的和、差、角平分线,其内容方法都很相似,学习时把它们进行对比。例如,“点M是线段AB的中点”可以写成AM=MB=1/2AB;在学习角平分线时,可以写出OB是∠AOC的平分线的式子∠AOB=∠BOC=1/2∠AOC,这样在对比中学习可以更好地理解和掌握相关知识。

二、注意三种语言的互译

数学语言是在数学思维中产生和发的,是数学思维不可缺少的重要工具,通常数学语言可以分为三种:文字语言、符号语言和图形语言。图形是将几何模型第一次抽象后的产物,是形象、直观的语言;文字语言是对图形的描述、理解与讨论;符号语言是对文字语言的简化和再次抽象。在学习时要注意它们之间的互化。

例如:在一段直跑道上取中点,其图形语言为

P

A

可以将其译为文字语言:点M是线段AB的中点;用几何语言表述:AM=MB=1/2AB。

如∠AOP=∠BOP,译成图形语言如图:

B

O

转化为文字语言:OP是∠AOB的角平分线。

三、注意推理能力的训练

在学习的时候不仅要通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质,还要“说点儿理”,把它作为通过实验探究得到结论的自然延续。

例如:OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线,如果∠AOB=400,∠DOE=300,那么∠BOD是多少度?

在这里不仅会求出∠BOD的度数,

还应明白这样做的理由,能用数学语言

表述出来。

如果同学们在学习的时候,能加强以上几个方面的训练,就不愁学不好几何噢!

与学生谈数学”之十

谈数学学习方法

罗田县三里畈初级中学鄂盛林

刚刚步入初中的学生对如何学好数学,如何适应初中教师的课堂教学感到很困惑,往往因为一开始没有调整好学习方法,或者是不适应初中数学学习而对数学学习失去了兴趣,导致了学习成绩的下降。针对这种情况,我就根据学生学习的几个环节(预习、上课、复习巩固与作业、总结),从宏观上谈谈数学的学习方法。

一、课前预习方法

初一学生往往不善于预习,也不知道预习起什么作用,预习仅是流于形式,草草看一遍,看不出问题和疑点。我认为学生在预习时应该做到:一读,先粗略浏览教材的有关内容,掌握本节知识的概貌。二分析,对重要概念、公式、法则、定理反复阅读、体会、思考,注意知识的形成过程,对难以理解的概念作出记号,以便带着疑问去听课。三准备,在课前就要做好上这堂课的准备,如学习用具(包括文具和自制的一些学具)、相关学习资料等等。例如:我们在学习几何第一章《平面图形和立体图形》这一节课前,就可以先将教材浏览一遍,初步了解这一节知识是要学会认识一些平面图形和立体图形,以及平面图形与立体图形的联系,然后就需要分析一下这一节课的知识要点应该是平面图形与立体图形的认识,而难点则是平面图形与立体图形的联系,最后就是要为上课做好准备,如收集一些平面图形和立体图形的图案和模型等等。

总之我们只有做好了课前的预习,做到有的放矢,上起课来就会觉得很轻松。实践证明,养成良好的预习习惯,能使我们变被动学习为主动学习,同时能逐渐培养自学能力。

二、课堂学习方法

课堂学习主要是要到“听讲”、“思考”、“探究”、“记笔记”相结合。

“听讲”包括听老师讲和听同学讲。听老师讲主要是听知识的引入过程,对新知识学习的要求,以及对重点、难点、疑点的点拨。听同学讲就是要了解别人对问题的分析和解法,或者是对新知识学习的疑问。

“思考”就是思维。没有思维,就不能真正的参与课堂学习。在思维方法上要注意以下几点::(1)多思、勤思,随听随思;(2)深思,即追根溯源地思考,善于大胆提出问题;(3)善思,由听和观察去联想、猜想、归纳;(4)树立批判意识,学会反思。

“探究”就是要学会与同学交流合作。在探究的过程中应注意做到:(1)要明确探究的问题;(2)在“思考”的基础之上要敢于发表自己的看法,要以理服人;(3)要学会听取别人的意见,做到取长补短。(4)经过探究之后要找到解决问题的最佳方法,使自己的知识、能力得到升华。

“记笔记”很多同学都能做到,但是初一学生一般不会合理记笔记,通常是教师黑板上写什么学生就抄什么,往往是用“记”代替“听”和“思”。有的笔记虽然记得很全,但收效甚微。因此我们在作笔记时应该做到:(1)记笔记服从听讲,要掌握记录时机;(2)记要点、记疑问、记解题思路和方法;(3)记小结、记探究结论、记课后思考题等。

总之,只有做好了以上几个环节,我们在课堂学习中就会事半功倍,收到良好的学习效果。

三、课后复习巩固及完成作业方法。

初一学生课后往往容易急于完成书面作业,忽视必要的巩固、记忆、复习。以致出现照例题模仿、套公式解题的现象,造成为交作业而做作业,起不到作业的练习巩固、深化理解知识的应有作用。为此在这个环节我们应该每天先阅读教材,结合笔记记录的重点、难点,回顾课堂讲授的知识、方法,同时记忆公式、定理(记忆方法有类比记忆、联想记忆、直观记忆等)。然后独立完成作业,解题后再反思。在作业书写方面也应注意“写法”,在书写格式上要规范、条理要清楚。为了作到这一点,我们应该注意训练自己的一些做作业的能力:(1)将文字语言转化为符号语言的能力;(2)将推理思考过程用文字书写表达的能力;(3)正确地由条件画出图形的能力。这里可以根据教师的示范有意的模仿、训练,逐步养成良好的书写习惯,这对今后的学习和工作都十分 重要。

四、小结或总结方法。

在进行单元小结或学期总结时,初一学生容易依赖老师,习惯教师带着复习总结。我认为从初一开始就应培养我们学会自己总结的习惯。一般要做到以下几点:一看:看书、看笔记、看习题,通过看,回忆、熟悉所学内容;二列:列出相关的知识点,标出重点、难点,列出各知识点之间的关系,这相当于写出总结要点;三做:在此基础上有目的、有重点、有选择地解一些各种档次、类型的习题,通过解题再反馈,发现问题、解决问题,还应学会将所学的知识应用于生活,用来解决一些实际的生活问题。最后归纳出体现所学知识的各种题型及解题方法。应该说学会总结是数学学习的最高层次。

作为初一年级的学生,我们只有掌握了科学的学习方法,并将这些方法应用于平常的学习当中,我们就一能学好数学。

与学生谈数学”之十一

由一个学生课堂错误想到的

罗田县三里畈中学晏绍安

题记:教学分式的基本性质[分式的分子、分母同时乘以(或除以)同一个整式(不为0),分式的值不变]。通过与分数的基本性质类比感悟性质后,教学例题:填空Y/X=()/X2(X≠0),一个同学填的是Y2。有几位同学小声嗤笑起来,犯错误的同学很没面子。我说:“你犯了一个很好的错误。”我突然想到:学生好的错误是一种可遇而不可求的教学资源。

课堂教和学的效果反馈信息有两个来源:一是课堂上学生的解答;二是课后的作业。课后作业的反馈信息较为滞后,课堂上学生解答的反馈信息更及时一些。因此艺术地处理课堂上学生的错误,是及时调整教学的需要,也是对学生进行的挫折教育。

一、让学生辨错,教师不要轻易定论错误。

课堂上学生愿意解答问题除了主动学习知识外,从心理上讲是一种表现欲望和信心、兴趣的体现,渴望得到同学特别是教师的肯定和表扬,有的错误是学生创新和探索而导致的。教师的否定在某种意义上说是一种伤害,教师所应该做的就是迅速而又很客气地请同学坐下。其他同学如果没有发现错误教师就用“仔细看看”之类的话语进行提醒。同学互相指出的错误更容易被接受,即使犯错误的同学不服气也会和其他的同学一起认真听其原因。这样全体同学参与,互相辨驳、探讨,就会越辨越明,找到错误原因,共同提高。

二、让同学纠错,教师不要轻易动手改错。

定论错误以后,全体同学渴求的是如何改正错误才能使解答正确?一般情况下学生首先想到的是教师,而教师将纠错任务叫给某位同学,对这位同学来说是极大的信任和鼓励,他肯定很高兴,会尽力表现得最好,对于其他同学而言是设置了一个悬念-----他能改对吗?会集中精力去观察、审视,有的会提出不同的解法,这样就调动了全体同学。当然有的错误不能当堂辨识或纠正,可以留给课后同学互相探讨,不次课再纠正,但教师要注意这是下了课不可再推移的问题。

三、利用一些好的错误反思教学

错误虽然是不对的,但是任何人不可避免。教师对学生可能犯的错误的估计不可能是百分之百的准确。有的错误甚至是可遇而不可求的好教学资源,如题记中的错误Y/X=(Y2)/X2(X≠)。分式的基本性质:把分式的分子、分母同时乘以(除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。犯错误的同学想到既然可以乘(除)以一个不为0的整式,分式的值不变。那么乘方、开方、加上、减去都是运算,也可以成立。这实际上是一种探索、模仿;但他不知道概念、定理的语言十分精确,有的是不可以由此及彼的。在这个性质中,在这个错误的基础上学生会想:为什么一定要乘(除)以同一个整式(不为0)?分式行不行?引发了学生进一步思考与探讨。

总之,学生课堂中出现的错误,或是源于教师的教,或是学生一种思维混乱和某些创新的尝试而导致的,有的有比较广泛的代表性,有的是个性的问题,值得教师进行教学反思;有的是一种教学资源,值得我们去开发利用。

【与学生谈数学之十二】

类比与联想展开思维的翅膀

罗田县三里畈初中何国炎

类比就是比较,跟谁比较就需要联想,联想整式乘法与因式分解进行代数变形;联想公式与法则进行计算;联想图形性质及定理进行几何证明;联想与题有关的简单问题的求解方法巧妙解题。类比与联想,发展了思维,培养了解题能力与技巧。

一、用类比的方法获取新知

类比就是依据两个事物在某些方面的相似,由其中的一类事物的已知特性去猜测另一类事物也具有相同或相似的特性。类比在学习获取新知上大有“由此及彼”照葫芦画瓢之意。由乘法分配律类比出单项式乘多项式的方法;由a(m+n)=am+an。单项式乘多项式运用整体方法,类比出(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn。即多项式乘多项式的方法;由四边形内角和是转化为三角形再求内角和的方法,类比出多边形内角和为180°(n-2)即为n-2个三角形内角和。由一元二次方程用根的判别式判别根的情况,类比出二次函数用判别式判断抛物线与x轴的交点的情况。通过类比,由已知获取了新知。

二、用类比的方法解决新题

运用类比解题,通常可由题目条件的相似去猜测结论的相似;或由题目形式的相似,去猜测论证方法的相似;从而找到解题的突破口。在学习绝对值性质时,有|a|≥0,运用这一性质解|a -1 |+|b+1 |=0, 即非负数的和为0,解法为只有各式为0,即a-1=0 ,b+1=0∴a=1,b=-1.而完全平方式、二次根式都为非负数的形式,故(a-1)2+(b+1)2=0与以及|a-1|+(b+1)20都是类比绝对值非负数和为零的解法,解决了一类似型的新题。

三、类比与联想创造新方法

类比给了我们获取新知,解决新题的方法,而类比与联想的结合,更开拓了思维,给了我们创造新方法的天地。

如图,D、E是Rt△ABC的斜边AB的三等分点,连CD、CE,且 CD 的长为sinα,CE的长为cosα,(0°<α<90°)=,求斜边AB的长。

分析:初看此题没有已知条件,再看也只有“三等分”与两个比值“sinα、cosα”

由已知联想一:EC=sinα,CD=cosα,必须有直角三角形才有三角函数故作EG⊥BCG,DF⊥ACF。联想二:必须将sinαcosα消去故有sinα2+cosα2=1,

CD2+CE2=1,∴EG2+GC2+DF2+FC2=1

()2+()2+()2+()2=1

2+2=1,2+2=,

∴AB==

一个云里雾里的问题,通过联想,创造一个简单的新解法。

因此,运用类比与联想的方法,我们获取新知,解决新题,创造新方法,开阔可视野,展开思维的翅膀。

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